不定方程X~ 3+ Y~ 3+ Z~ 3-3XYZ= N 有非负整数解的充要条件

... （ｚ－ｘ）2］＝2ｐ （4） 易知ｘ，ｙ，ｚ不全相等，否则（4）式不能成立.于是不 妨设ｘ＜ｙ＜ｚ或ｘ＝ｙ＜ｚ或ｘ＜ｙ＝ｚ． 因ｘ＋ｙ＋ｚ≥ 3，故由（4）式及文献［5］的证明过程 知 ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｐ， （ｘ－ｙ）2 ＋（ｙ－ｚ）2＋（ｚ－ｘ）2 ＝2 （5） 或 ... 1 0 1 1 1 0 ｒ 故 ａｒ＋1 ｂｒ＋1 ｃｒ＋1 ｃｒ＋1 ａｒ＋1 ｂｒ＋1 ｂｒ＋1 ｃｒ＋1 ａｒ＋1 ...